로또 1등 814만분의 1 — 이 숫자가 실제로 뜻하는 것
로또 1등 확률은 8,145,060분의 1입니다. 45개 숫자 중 6개를 고르는 방법이 정확히 그만큼이기 때문입니다. 그런데 이 숫자를 봐도 감이 잘 안 옵니다. 백만이나 천만이나 그냥 "엄청 크다"로 뭉뚱그려집니다.
이 숫자가 무슨 뜻인지, 그리고 여기서 사람들이 가장 자주 잘못 판단하는 지점이 어디인지 계산으로 짚어보겠습니다.
시간으로 바꾸면 이렇게 된다
확률을 시간으로 환산하면 규모가 잡힙니다. 로또 용지 한 장에는 다섯 게임(A~E)이 들어갑니다.
| 매주 구매량 | 1등까지 평균 |
|---|---|
| 1게임 (1,000원) | 8,145,060주 = 약 15만 6천 년 |
| 5게임 (1장, 5,000원) | 1,629,012주 = 약 3만 1천 년 |
| 25게임 (25,000원) | 325,802주 = 약 6,265년 |
매주 한 장씩 꼬박꼬박 사면 평균 3만 1천 년이 걸립니다. 인류가 농사를 시작한 게 1만 년쯤 전이니, 그때부터 매주 샀어도 아직 세 바퀴가 남았습니다.
여기서 "평균"이라는 말에 주의할 필요가 있습니다. 3만 년을 채워야 당첨된다는 뜻이 아닙니다. 다음 주에 당첨될 수도 있고, 30만 년을 사도 안 될 수도 있습니다. 매 회차는 앞선 회차와 무관하게 처음부터 다시 시작합니다. 오래 샀다고 확률이 올라가지 않습니다. "이만큼 샀으니 이제 슬슬 될 때가 됐다"는 감각은 수학적으로 근거가 없습니다.
그런데 왜 1등은 매주 나올까
확률이 이렇게 낮은데 1등은 거의 매주 나옵니다. 모순처럼 보이지만 아닙니다. 사는 사람이 아주 많기 때문입니다.
거꾸로 계산해보면 규모가 보입니다. 1등이 평균적으로 n명 나오려면 그 주에 대략 n × 814만 게임이 팔려야 합니다.
- 1등 1명 → 약 815만 게임 (게임당 1,000원이니 81억 원어치)
- 1등 10명 → 약 8,145만 게임 (815억 원어치)
- 1등 15명 → 약 1억 2,218만 게임 (1,222억 원어치)
즉 매주 1등이 여러 명 나온다는 사실 자체가 그 주에 수백억 원어치가 팔렸다는 뜻입니다. 확률은 그대로인데 시행 횟수가 어마어마해서 누군가는 맞는 것입니다. 내가 맞을 확률과 누군가 맞을 확률은 완전히 다른 이야기입니다.
등수별 확률 — 5등은 생각보다 자주 맞는다
| 등수 | 조건 | 확률 |
|---|---|---|
| 1등 | 6개 일치 | 1 / 8,145,060 |
| 2등 | 5개 + 보너스 | 1 / 1,357,510 |
| 3등 | 5개 일치 | 1 / 35,724 |
| 4등 | 4개 일치 | 1 / 733 |
| 5등 | 3개 일치 | 1 / 45 |
등수를 다 합치면 2.38%, 약 42게임에 한 번은 뭐라도 맞습니다. 5등만 보면 45게임에 한 번꼴입니다.
이 구조가 중요합니다. 45게임(약 9장)을 사면 5등 이상에 한 번이라도 걸릴 확률이 66.2%입니다. 10게임만 사도 21.4%입니다. 작은 당첨이 이 정도 빈도로 돌아오기 때문에 "아예 안 되는 건 아니네"라는 감각이 유지됩니다. 1등 확률이 아니라 5등 확률이 사람을 계속 사게 만드는 셈입니다.
표에서 한 가지가 유독 눈에 띕니다. 2등과 3등은 똑같이 "5개를 맞힌" 경우인데 확률이 38배 차이납니다. 나머지 한 개가 보너스 번호냐 아니냐로 갈리기 때문입니다. 보너스와 일치하는 경우는 단 6가지뿐인 반면, 보너스도 당첨번호도 아닌 나머지 38개 중 하나와 일치하는 경우는 228가지입니다. 6과 228, 정확히 38배입니다.
5개를 맞히고도 마지막 하나가 무엇이냐에 따라 등수와 당첨금이 크게 갈립니다. 번호를 고르는 단계에서는 어떻게 해볼 수 있는 부분이 전혀 없습니다. 보너스 번호는 내가 선택하는 대상이 아니라 추첨 결과이기 때문입니다.
번호를 직접 고르기 번거롭다면 무작위로 뽑아볼 수 있습니다. 제외할 숫자와 반드시 넣을 숫자를 지정할 수도 있습니다.
연속번호를 피하는 습관은 틀렸다
여기가 이 글에서 가장 실용적인 부분입니다. 많은 사람이 번호를 고를 때 연속된 숫자를 일부러 피합니다. "7, 8이 같이 나오겠어?" 하면서 하나를 바꿉니다.
계산해보면 정반대입니다. 45개 중 6개를 뽑는 8,145,060가지 조합 가운데 연속된 숫자가 하나도 없는 조합은 3,838,380가지, 즉 47.1%입니다.
다시 말해 연속된 숫자가 포함된 조합이 52.9%로 과반입니다. 연속번호를 피한다는 것은 절반이 넘는 조합을 스스로 지워버리는 행동입니다. 당첨 확률이 낮아지지는 않지만(어차피 모든 조합이 동일하니까), "연속은 안 나온다"는 전제 자체가 사실이 아닙니다.
왜 이런 착각이 생길까요. 45개 중 6개는 꽤 촘촘하기 때문입니다. 1부터 45까지를 여섯 칸으로 나누면 평균 간격이 7 남짓입니다. 이 정도 밀도에서는 어딘가 한 쌍이 붙을 가능성이 오히려 높습니다. 직관이 "무작위 = 골고루 흩어짐"으로 작동하는데, 실제 무작위는 뭉치기도 합니다.
같은 착각은 다른 곳에서도 나타납니다. 번호를 고를 때 구간을 골고루 나누려는 습관도 그렇습니다. 1~9에서 하나, 10~19에서 하나, 이런 식으로 배분하면 "고르게" 느껴집니다. 하지만 추첨기는 구간을 나누지 않습니다. 한 구간에서 세 개가 몰려 나오는 조합도 골고루 퍼진 조합과 정확히 같은 확률을 갖습니다. 보기 좋은 조합을 만들려는 노력은 확률에 아무 영향을 주지 않고, 다만 비슷하게 생각하는 사람이 많아 당첨금을 나눠 가질 가능성만 높입니다.
모든 조합의 확률은 정확히 같다
같은 이유로 이런 것들도 전부 같은 확률입니다.
- 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 1 / 8,145,060
- 7, 13, 22, 28, 35, 41 → 1 / 8,145,060
- 지난주 당첨번호 그대로 → 1 / 8,145,060
1부터 6까지가 "말도 안 되게" 느껴지는 건 그 조합이 우리 눈에 의미 있는 모양으로 보이기 때문일 뿐입니다. 추첨기는 모양을 알아보지 못합니다.
다만 실용적인 차이가 하나 있습니다. 1,2,3,4,5,6처럼 사람들이 좋아하는 조합은 같이 고른 사람이 많습니다. 당첨금은 1등 인원수로 나누므로, 인기 조합으로 당첨되면 받는 금액이 줄어듭니다. 당첨 확률을 높일 방법은 없지만, 당첨됐을 때의 몫을 지키는 방법은 있는 셈입니다. 생일에 맞춰 31 이하만 고르는 습관도 같은 이유로 불리합니다.
정리하면, 로또에서 실력으로 바꿀 수 있는 것은 확률이 아니라 분배뿐입니다. 번호를 어떻게 고르든 8,145,060분의 1은 변하지 않습니다. 과거 회차 통계로 "잘 나오는 번호"를 찾는 방법도 마찬가지입니다. 매 회차는 앞선 결과를 기억하지 못하기 때문입니다. 숫자를 정확히 알고 나면, 기대와 지출의 크기를 스스로 정하기가 한결 쉬워집니다.
무작위로 번호를 뽑아보고, 원하는 숫자만 넣거나 빼서 조합을 만들어보세요.
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본문의 모든 확률은 45개 중 6개를 뽑는 조합(C(45,6)=8,145,060)을 기준으로 근사 없이 계산했습니다. 연속번호가 없는 조합 수는 C(40,6)=3,838,380으로 산출했습니다. 판매량 역산은 1등 당첨자 수의 기댓값을 뒤집어 계산한 추정치이며 실제 발표 수치가 아닙니다. 복권 구매는 지출한 금액을 돌려받지 못하는 것이 통상적인 결과이며, 감당 가능한 범위를 넘는 구매는 권하지 않습니다.