제비뽑기, 먼저 뽑는 사람이 유리할까 — 10명 중 1명이면 몇 번째든 10%입니다
제비뽑기를 하려고 종이를 접어 놓으면 꼭 나오는 말이 있습니다. "나 먼저 뽑을래." "아니야, 나중에 뽑는 게 유리해." 먼저 뽑으면 당첨 종이가 아직 남아 있을 때 고르는 것이고, 나중에 뽑으면 꽝이 여러 장 빠진 뒤에 고르는 것이니 둘 다 그럴듯합니다.
답은 어느 쪽도 아닙니다. 10명 가운데 1명이 당첨되는 제비뽑기라면 몇 번째로 뽑든 당첨 확률은 똑같이 10%입니다. 계산은 곱셈 두세 번이면 끝나고, 꿀도구 제비뽑기는 이 문제를 아예 없애는 방식으로 만들어져 있습니다.
두 번째 사람의 확률을 계산해 보면
종이 10장 가운데 당첨이 1장 있습니다. 첫 번째 사람이 당첨될 확률은 10분의 1입니다. 두 번째 사람이 당첨되려면 두 가지가 이어져야 합니다. 첫 번째 사람이 꽝을 뽑아야 하고, 남은 9장에서 당첨을 골라야 합니다.
첫 번째 사람이 꽝일 확률은 10분의 9이고, 그 뒤 9장 가운데 당첨을 고를 확률은 9분의 1입니다. 둘을 곱하면 9가 약분되어 10분의 1이 남습니다. 세 번째 사람도, 열 번째 사람도 같은 식으로 약분됩니다.
| 뽑는 순서 | 계산 | 당첨 확률 |
|---|---|---|
| 1번째 | 1/10 | 10% |
| 2번째 | 9/10 × 1/9 | 10% |
| 3번째 | 9/10 × 8/9 × 1/8 | 10% |
| 10번째 | 앞의 9명이 모두 꽝일 확률 1/10 × 1 | 10% |
당첨이 여러 장이어도 결과는 같습니다. 10명 가운데 3명이 당첨되는 뽑기라면 순서와 상관없이 누구나 30%입니다. 인원이 몇 명이든, 당첨이 몇 장이든 한 사람의 확률은 당첨 수를 인원으로 나눈 값입니다.
그런데도 순서가 중요해 보이는 이유
뽑기가 진행되는 동안에는 확률이 실제로 움직이기 때문입니다. 앞의 다섯 명이 모두 꽝을 뽑았다면 남은 다섯 명의 확률은 각자 20%로 올라갑니다. 아홉 명이 꽝이면 마지막 사람은 100%입니다. 이 장면만 보면 뒤에 뽑는 사람이 유리해 보입니다.
반대 장면도 있습니다. 첫 번째 사람이 당첨을 뽑으면 남은 아홉 명의 확률은 그 자리에서 0%가 됩니다. 뒤로 갈수록 확률이 오르는 길과 한순간에 0이 되는 길이 함께 있고, 두 길을 일어날 확률만큼 섞으면 처음의 10%로 돌아옵니다.
마지막 사람을 예로 들면 분명합니다. 마지막 사람이 100%가 되는 것은 앞의 아홉 명이 연달아 꽝을 뽑았을 때뿐이고, 그런 일이 일어날 확률이 바로 10분의 1입니다. "남은 종이 중에 당첨이 있다"는 것을 알고 난 뒤의 확률과, 뽑기를 시작하기 전의 확률은 서로 다른 질문입니다. 순서를 정하는 시점은 시작하기 전이므로, 그때는 어느 자리든 같습니다.
꿀도구 제비뽑기는 시작할 때 결과를 정해 둡니다
꿀도구 제비뽑기에는 "누가 먼저 뽑느냐"가 없습니다. '제비뽑기 시작'을 누르는 순간 참가자 전원의 자리를 무작위로 섞고, 섞인 줄의 앞에서부터 당첨자 수만큼을 당첨으로 정합니다. 화면에는 참가자 이름이 적힌 카드가 뒤집힌 채 놓이고, 카드마다 당첨인지 꽝인지가 이미 들어 있습니다.
'순서 뽑기'는 카드를 한 장씩 눌러 공개하고, '전체 공개'는 누르지 않아도 모든 카드가 저절로 뒤집힙니다. 어느 쪽이든 바뀌는 것은 공개되는 순서뿐입니다. 내 카드를 먼저 누르든 맨 나중에 누르든 그 안의 결과는 같습니다.
섞는 방식은 줄의 맨 뒤부터 한 자리씩 앞으로 오면서 그 자리와 앞쪽 아무 자리를 맞바꾸는 것입니다. 모든 순서가 같은 확률로 나오는 표준 방법이고, 난수는 브라우저의 암호용 난수를 씁니다. 같은 방식으로 100만 번씩 돌려 봤습니다.
| 설정(100만 번) | 결과 |
|---|---|
| 10명 중 1명 당첨 | 자리별 당첨 99,598~100,649회 (9.96~10.06%) |
| 10명 중 3명 당첨 | 사람별 당첨 29.90~30.08% |
| 10명 중 3명, 당첨 조합 | 120가지 조합이 모두 나옴, 조합마다 8,069~8,580회 |
명단의 첫 번째 자리와 열 번째 자리의 차이는 0.1%포인트 안쪽입니다. 10명에서 3명을 고르는 조합 120가지도 한쪽으로 쏠리지 않고, 기대값인 8,333회 근처에 고르게 나왔습니다. 이름을 위에 적었다고 유리하지도, 아래에 적었다고 불리하지도 않습니다.
공정하게 쓰려면 정할 것은 하나입니다
확률이 같다면 남는 문제는 절차입니다. 제비뽑기가 불공정해지는 것은 대개 섞는 방법 때문이 아니라 결과가 나온 뒤에 생기는 일 때문입니다.
- 다시 뽑기는 시작 전에 정한다 — '다시 뽑기'를 누르면 처음부터 새로 섞습니다. 마음에 드는 결과가 나올 때까지 누를 수 있으면 누르는 사람이 결과를 고르는 셈입니다. "한 번만 뽑고 그대로 따른다"를 먼저 정해 둡니다.
- 시작 버튼은 모두가 보는 앞에서 누른다 — 결과는 버튼을 누르는 순간 정해집니다. 화면을 같이 보거나 공유한 상태에서 누르면 미리 돌려 봤다는 의심이 생기지 않습니다.
- 이름을 넣어 둔다 — 한 줄에 한 명씩 적으면 카드에 이름이 붙습니다. 적지 않으면 '참가자 1', '참가자 2'로 나와서 누가 몇 번인지 따로 정해야 합니다.
- 결과는 글자로 남긴다 — '결과 복사'를 누르면 총 인원, 당첨자 수, 당첨과 꽝 명단이 글로 복사됩니다. 단체 대화방에 붙여 두면 나중에 말이 달라지지 않습니다.
정리하면 제비뽑기에서 순서는 확률을 바꾸지 않습니다. 10명 중 1명이면 첫 번째도 열 번째도 10%이고, 달라 보이는 것은 뽑는 도중에 정보가 하나씩 드러나기 때문입니다. 인원은 2명부터 50명까지, 당첨자는 인원보다 한 명 적은 수까지 정할 수 있으니, 먼저 뽑을지 나중에 뽑을지로 실랑이할 시간에 다시 뽑기를 허용할지만 정하면 됩니다.
제비뽑기에서 인원과 당첨자 수를 정하고 이름을 적으면, 이름이 붙은 카드를 한 장씩 또는 한꺼번에 뒤집어 당첨과 꽝을 확인할 수 있습니다. 결과는 글로 복사됩니다.
자주 묻는 질문
- 제비뽑기는 먼저 뽑는 것이 유리한가요?
- 아닙니다. 10명 중 1명이 당첨이면 1번째는 1/10, 2번째는 9/10 × 1/9, 3번째는 9/10 × 8/9 × 1/8로 모두 10%입니다. 인원과 당첨 수가 달라져도 한 사람의 확률은 당첨 수를 인원으로 나눈 값으로 같습니다.
- 앞사람들이 꽝을 뽑으면 내 확률이 올라가는 것 아닌가요?
- 뽑는 도중에는 올라갑니다. 10명 중 5명이 꽝이면 남은 사람은 20%입니다. 하지만 앞사람이 당첨을 뽑으면 0%가 되고, 두 경우를 일어날 확률만큼 합치면 처음의 10%가 됩니다. 순서를 정하는 것은 시작 전이므로 그때는 어느 자리든 같습니다.
- 꿀도구 제비뽑기에서 카드를 누르는 순서가 결과에 영향을 주나요?
- 주지 않습니다. '제비뽑기 시작'을 누르는 순간 참가자 전원을 무작위로 섞어 당첨자를 정하고, 이름이 붙은 카드마다 결과를 넣어 둡니다. 카드를 누르는 것은 이미 정해진 결과를 공개하는 일입니다.
- 몇 명까지, 당첨자는 몇 명까지 정할 수 있나요?
- 인원은 2명부터 50명까지이고, 당첨자는 1명부터 인원보다 한 명 적은 수까지 정할 수 있습니다. 이름은 한 줄에 한 명씩 적으며, 적지 않은 자리는 '참가자 1'처럼 번호로 표시됩니다.
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당첨자를 정하는 시점, 섞는 방식, 난수의 종류, 인원과 당첨자 수의 범위, 결과 복사 기능은 꿀도구 제비뽑기에 구현된 내용을 그대로 정리한 것입니다. 100만 번 시험은 도구와 같은 섞기 방식을 따로 옮겨 실행한 결과이며, 횟수는 돌릴 때마다 조금씩 달라집니다. 순서별 확률은 종이 제비를 한 장씩 뽑고 다시 넣지 않는 경우를 계산한 값입니다.