회식 자리에서 벌칙 받을 사람을 뽑거나, 경품 당첨자를 고를 때 누군가에게는 조금 더 기회를 주고 싶을 때가 있습니다. 뽑기 도구에는 그래서 가중치가 있습니다. 1부터 10까지 값을 올리면 그만큼 잘 뽑힙니다.

그런데 이 가중치가 생각대로 작동하는 건 한 명만 뽑을 때입니다. 두 명, 세 명을 뽑기 시작하면 설정한 비율이 결과에 그대로 나타나지 않습니다. 값을 3배로 줬는데 실제로는 1.6배쯤으로 줄어듭니다. 버그가 아니라 뽑는 방식에서 따라 나오는 결과입니다.

가중치는 '이름표를 몇 장 넣었나'입니다

가중치를 이해하는 가장 쉬운 방법은 종이 쪽지로 생각하는 것입니다. 가에게 3, 나과 다에게 1을 줬다면 가의 이름이 적힌 쪽지를 3장, 나머지는 각각 1장 넣은 상자와 같습니다.

상자 안에는 모두 5장이 들어 있습니다. 여기서 한 장을 꺼내면 가이 나올 확률은 3/5, 즉 60%입니다. 나과 다는 각각 20%입니다. 설정한 3:1:1 비율이 그대로 확률이 됩니다.

기본값은 모두 1입니다. 아무것도 건드리지 않으면 전원이 한 장씩 넣은 셈이라 확률이 같습니다. 가중치를 올린다는 건 그 사람 쪽지를 더 넣는 것이고, 최대 10까지 넣을 수 있습니다.

여기까지는 직관과 정확히 맞습니다. 문제는 한 장이 아니라 여러 장을 꺼낼 때 시작됩니다. 꺼낸 쪽지를 다시 넣지 않기 때문입니다.

두 번째부터는 상자 안이 달라져 있습니다

여러 명을 뽑을 때 이 도구는 뽑힌 사람을 후보에서 빼고 다음을 뽑습니다. 같은 사람이 두 번 뽑히면 안 되니 당연한 처리입니다. 그런데 이 한 가지가 확률을 크게 바꿉니다.

첫 번째로 가이 뽑혔다고 해보겠습니다. 가의 쪽지 3장이 통째로 빠지므로 남은 건 나과 다의 쪽지 2장입니다. 이제 둘의 확률은 각각 50%로 같아집니다. 반대로 첫 번째에 나이 뽑히면 가의 쪽지 3장이 그대로 남아 가이 두 번째로 뽑힐 확률이 3/4까지 올라갑니다.

즉 두 번째 뽑기의 확률은 첫 번째 결과에 따라 매번 다릅니다. 고정된 값이 아니라 앞에서 누가 빠졌느냐에 달린 값입니다. 그래서 '두 명 뽑을 때 가의 확률'을 구하려면 가능한 순서를 전부 따져 더해야 합니다.

이 점이 흔한 오해를 낳습니다. '가중치가 높으면 두 번째에도 유리하겠지'라고 생각하기 쉬운데, 가중치가 높은 사람은 첫 번째에 이미 뽑혔을 가능성이 크기 때문에 두 번째 자리에는 오히려 덜 남아 있습니다. 유리함이 앞으로 쏠리면서 뒤쪽에서는 반대로 작용하는 셈입니다.

반대로 가중치가 낮은 사람은 첫 번째에 살아남을 확률이 높습니다. 그러면 남은 후보가 줄어든 상태에서 두 번째 기회를 받습니다. 후보가 적어질수록 개인의 확률은 올라가므로 낮은 가중치가 뒤쪽에서 손해를 만회하는 구조가 됩니다.

계산해 보면 이렇습니다. 가이 두 명 안에 들 확률은 90%, 나과 다는 각각 55%입니다. 세 값을 더하면 200%, 두 명을 뽑았으니 합이 200%가 되는 것이 맞습니다.

3배가 1.64배로 줄어듭니다

여기서 본론입니다. 가중치는 3:1, 즉 3.0배 차이로 설정했습니다. 한 명을 뽑을 때는 60% 대 20%로 정확히 3.0배입니다. 그런데 두 명을 뽑으면 90% 대 55%, 비율로는 1.64배로 줄어듭니다.

뽑는 인원	가 (가중치 3)	나 · 다 (가중치 1)	배율
1명	60%	20%	3.0배
2명	90%	55%	1.64배
3명	100%	100%	1배

세 명 중 세 명을 뽑으면 전원이 100%입니다. 가중치를 아무리 올려도 결과가 같습니다. 뽑는 인원이 전체에 가까워질수록 가중치는 힘을 잃습니다.

이유는 단순합니다. 가중치가 정하는 것은 순서이지 포함 여부가 아니기 때문입니다. 가중치가 높으면 앞쪽 순번으로 뽑힐 가능성이 커지지만, 어차피 다 뽑을 거라면 앞이든 뒤든 결과는 같습니다.

그래서 이렇게 정리할 수 있습니다. 후보가 많고 뽑는 인원이 적을수록 가중치가 잘 듣습니다. 반대로 후보 대비 뽑는 인원이 많아질수록 설정한 차이가 결과에서 흐려집니다. 같은 설정인데 상황에 따라 체감이 달라지는 이유입니다.

실제 상황에 대보면 감이 옵니다. 서른 명 중 한 명에게 벌칙을 줄 때는 가중치가 또렷하게 듣습니다. 후보가 많아서 한 명 뽑는 것으로는 판이 거의 안 바뀌기 때문입니다. 반대로 다섯 명 중 세 명을 뽑는 상황이라면 누구를 얼마나 밀어줬든 결과가 비슷해집니다.

경품 추첨처럼 당첨자가 여럿인 경우가 특히 그렇습니다. '단골에게 두 배 기회를 주자'는 의도로 가중치를 올려도, 뽑는 인원이 많으면 실제 당첨률 차이는 의도한 두 배에 한참 못 미칩니다. 설정값과 결과를 같은 것으로 보면 어긋난 기대를 하게 됩니다.

흔한 오해 세 가지

• '가중치 3이면 3배 뽑힌다' — 한 명을 뽑을 때만 맞습니다. 여러 명을 뽑으면 그 배율이 반드시 줄어듭니다. 줄어드는 정도는 후보 수와 뽑는 인원에 따라 달라집니다.
• '여러 번 돌리면 평균이 맞춰진다' — 평균은 맞춰지지만 그 평균 자체가 3.0배가 아니라 1.64배입니다. 횟수를 늘려도 설정한 비율로 수렴하지 않습니다.
• '같은 이름을 여러 번 넣는 것과 같다' — 한 명 뽑기에서는 같지만 여러 명 뽑기에서는 다릅니다. 이름을 여러 번 넣으면 같은 사람이 두 번 뽑힐 수 있고, 가중치는 한 번 뽑히면 나머지 쪽지가 통째로 빠집니다.

정말로 배율을 지키고 싶다면 방법은 둘입니다. 한 명씩 여러 번 돌리되 뽑힌 사람을 다시 후보에 넣거나, 아니면 애초에 한 명만 뽑는 용도로 쓰는 것입니다. 여러 명을 한 번에 뽑는 기능은 '순서를 정하는 도구'에 가깝다고 보면 설정과 결과가 어긋나 보이는 일이 없어집니다. 어느 쪽이든 규칙을 알고 쓰는 것과 모르고 쓰는 것은 결과 해석이 달라집니다. 설정한 숫자와 실제 확률이 왜 다른지 알면 결과를 두고 다툴 일도 줄어듭니다. 추첨을 시작하기 전에 이 점을 먼저 공유해 두면 더 좋습니다.

자주 묻는 질문

뽑기에서 가중치 3은 3배 잘 뽑힌다는 뜻인가요?

한 명만 뽑을 때는 맞습니다. 가중치는 상자에 넣는 쪽지 수와 같아서 3:1:1이면 첫 사람이 5장 중 3장, 60%로 정확히 3배입니다. 하지만 여러 명을 뽑으면 이 배율은 반드시 줄어듭니다.

두 명을 뽑으면 왜 3배가 1.64배가 되나요?

뽑힌 사람의 쪽지를 통째로 빼고 다음을 뽑기 때문입니다. 가중치가 높은 사람은 첫 번째에 이미 뽑혔을 가능성이 커 두 번째 자리에는 덜 남고, 낮은 사람은 후보가 줄어든 두 번째 기회에서 손해를 만회합니다. 두 명 안에 들 확률은 가중치 3인 사람 90%, 1인 사람 각 55%로 1.64배입니다.

뽑는 인원이 늘면 가중치는 어떻게 되나요?

전체에 가까워질수록 힘을 잃습니다. 세 명 중 세 명을 뽑으면 전원 100%라 가중치를 아무리 올려도 결과가 같습니다. 가중치가 정하는 것은 포함 여부가 아니라 순서이기 때문에, 후보가 많고 뽑는 인원이 적을수록 가중치가 잘 듣습니다.

설정한 배율을 그대로 지키려면 어떻게 하나요?

한 명씩 여러 번 돌리되 뽑힌 사람을 다시 후보에 넣거나, 애초에 한 명만 뽑는 용도로 씁니다. 같은 이름을 여러 번 넣는 방법은 한 명 뽑기에서는 가중치와 같지만, 여러 명 뽑기에서는 같은 사람이 두 번 뽑힐 수 있어 다릅니다.

가중치 범위와 비복원 추출 방식은 도구에 구현된 내용을 그대로 정리한 것입니다. 본문의 확률은 후보 3명, 가중치 3:1:1을 전제로 가능한 모든 순서를 따져 계산한 값이며, 후보 수와 가중치가 달라지면 값도 달라집니다.