2048을 한 번이라도 만들어본 사람이면 그다음 궁금증이 생깁니다. "이거 어디까지 갈 수 있지?"

답이 정해져 있습니다. 4×4 판에서 이론상 나올 수 있는 가장 큰 타일은 131,072입니다. 그리고 그 숫자가 왜 하필 그것인지는 칸 수만 세면 바로 나옵니다.

2048은 2의 11제곱일 뿐이다

이 게임의 모든 타일은 2의 거듭제곱입니다. 2, 4, 8, 16처럼 두 배씩 올라갑니다. 그래서 타일을 지수로 바꿔 보면 훨씬 단순해집니다.

• 2 = 2의 1제곱 · 4 = 2제곱 · 8 = 3제곱
• 2048 = 2의 11제곱
• 4096 = 12제곱 · 8192 = 13제곱

2048에 도달했다는 건 11단계를 올라왔다는 뜻입니다. 타일 하나를 더 올리려면 그때까지 쌓은 것과 똑같은 양을 한 번 더 쌓아야 합니다. 4096은 2048의 두 배가 아니라, 2048을 두 번 만들어야 나오는 숫자입니다. 같은 한 칸 차이가 뒤로 갈수록 무거워지는 이유입니다.

칸 수가 상한을 정한다

가장 큰 타일을 만들려면 그 직전에 무엇이 있어야 하는지 거꾸로 따라가 봅시다.

2의 k제곱을 만들려면 2의 (k−1)제곱 두 개를 붙여야 합니다. 그 (k−1)제곱 하나도 방금 (k−2)제곱 두 개를 붙여 만든 것이고, 계속 내려갑니다. 결국 어느 순간 판 위에는 (k−1)제곱, (k−2)제곱, … , 8, 4가 하나씩 동시에 놓여 있어야 하고, 여기에 새로 생겨날 타일 자리도 하나 필요합니다.

즉 필요한 칸 수가 곧 지수의 한계가 됩니다. 칸이 N개인 판에서 나올 수 있는 최대 타일은 2의 (N+1)제곱입니다.

판 크기	칸 수	이론상 최대 타일
4 × 4	16칸	131,072 (2의 17제곱)
5 × 5	25칸	67,108,864 (2의 26제곱)
6 × 6	36칸	137,438,953,472 (2의 37제곱)

여기서 4가 섞여 나오는 이유가 드러납니다. 만약 새 타일이 2만 나온다면 마지막 자리에도 2가 와야 하고, 그 2를 4로 만들려면 칸이 하나 더 듭니다. 상한이 한 단계 내려가는 것입니다. 10% 확률로 나오는 4가 상한을 두 배로 올려주는 셈입니다.

4×4에서 2048은 11제곱이고 상한은 17제곱입니다. 숫자로는 2,048과 131,072라 64배 차이지만, 단계로 보면 11칸을 올라와서 6칸이 남은 상태입니다. 게임 이름이 된 2048이 사실은 중간 지점쯤이라는 뜻입니다.

칸 하나가 늘면 상한이 두 배

꿀도구의 2048은 판 크기를 4×4, 5×5, 6×6 중에 고를 수 있고 기본값이 5×5입니다. 처음 해보면 4×4보다 훨씬 여유롭게 느껴지는데, 이유가 숫자에 있습니다.

4×4에서 5×5로 가면 칸이 16개에서 25개로 9개 늘어납니다. 상한은 칸 하나마다 두 배씩 뛰므로 2의 9제곱, 즉 512배가 됩니다. 131,072였던 상한이 67,108,864가 되는 것입니다.

실제 체감은 상한보다 빈칸의 여유에서 옵니다. 4×4는 큰 타일 몇 개만 자리를 잡아도 남은 칸이 금방 부족해집니다. 막히는 순간이 오면 되돌릴 방법이 없습니다. 5×5는 같은 상황에서 정리할 여지가 더 남아 있어 실수 한 번으로 끝나지 않습니다.

반대로 판이 커지면 한 판이 길어집니다. 칸이 많다는 건 채워야 할 타일도 많다는 뜻이라, 6×6은 상한이 천억을 넘지만 그만큼 오래 걸립니다.

여유가 늘 좋기만 한 것도 아닙니다. 판이 커지면 새 타일이 멀리 떨어진 자리에 생기는 일이 잦아집니다. 4×4에서는 어디에 생겨도 두세 번이면 원하는 쪽으로 몰 수 있지만, 6×6에서는 반대편 끝에 생긴 2 하나를 정리하러 가는 동안 공들여 맞춰둔 줄이 흐트러지기도 합니다.

그래서 판 크기를 바꾸면 게임의 성격 자체가 달라집니다. 4×4는 2048에 닿느냐가 목표인 게임이고, 5×5와 6×6은 목표를 넘긴 뒤 얼마나 오래 정렬을 유지하느냐가 게임이 됩니다. 꿀도구에서 판 크기별로 최고 점수를 따로 저장하는 것도 이 때문입니다. 같은 게임처럼 보이지만 기록을 한 줄에 놓고 비교할 수 없습니다.

2048 한 개에 타일 1,024개

양으로 따지면 감이 더 옵니다. 2048은 2를 1,024개 모아야 나옵니다. 2를 두 개 붙여 4를 만드는 식으로 계속 합치면 병합만 1,023번입니다.

새 타일은 2가 90%, 4가 10% 확률로 나옵니다. 평균을 내면 한 번 생길 때 2.2가 들어오는 셈이니, 2048 하나를 채우려면 약 931번의 타일 생성이 필요합니다. 그동안 방향키는 그보다 훨씬 많이 눌러야 합니다.

점수도 계산됩니다. 이 게임의 점수는 단순합니다. 두 타일을 합칠 때 만들어진 값이 그대로 점수에 더해집니다. 4를 만들면 4점, 8을 만들면 8점입니다.

그래서 2048 하나를 만드는 동안 4는 1,024번, 8은 512번, 16은 256번 만들어집니다. 각 단계가 정확히 2048씩 기여하고 단계는 10개이니 합이 20,480이 됩니다. 일반화하면 2를 합쳐 2의 k제곱을 만들 때 최소 점수는 (k−1) × 2의 k제곱입니다.

목표 타일	최소 점수
2048	20,480
4096	45,056
8192	98,304
131,072	2,097,152

2048을 만들었는데 점수가 20,480보다 낮다면 계산이 어딘가 틀린 것입니다. 반대로 점수가 훨씬 높다면 그만큼 4가 많이 나왔거나 필요 없는 병합을 했다는 뜻입니다. 같은 2048이라도 점수로 과정을 되짚을 수 있습니다.

상한은 상한일 뿐

131,072는 단 한 칸도 낭비하지 않았을 때의 숫자입니다. 큰 타일부터 작은 타일까지 정확히 한 줄로 정렬돼 있어야 하고, 새로 생기는 타일이 매번 원하는 자리에 나와야 합니다. 새 타일 위치는 무작위라 이 조건이 끝까지 유지될 확률은 사실상 없습니다.

게임이 끝나는 조건도 명확합니다. 빈칸이 하나도 없고, 맞닿은 타일 중 같은 값이 한 쌍도 없을 때입니다. 둘 중 하나만 어긋나도 게임은 계속됩니다. 그래서 판이 가득 차 보여도 같은 숫자가 붙어 있으면 아직 끝난 게 아닙니다.

그래서 실전에서 붙잡을 원칙은 상한이 아니라 정렬입니다.

• 가장 큰 타일을 한 모서리에 고정하고 그 방향으로만 미는 것을 기본으로 삼습니다
• 큰 타일이 있는 줄은 절대 흐트러뜨리지 않습니다. 그 줄이 깨지면 다시 맞추는 데 대부분의 빈칸을 씁니다
• 빈칸이 두세 개로 줄면 새 타일 위치를 통제할 수 없습니다. 여유가 있을 때 미리 정리하는 편이 낫습니다

정리하면, 2048은 끝이 아니라 17단계 중 11단계입니다. 다음 목표는 4096이고, 그건 지금까지 한 것을 한 번 더 하는 일입니다. 판을 5×5로 바꾸면 그 여정이 조금 더 너그러워집니다.

새 타일 확률(2가 90%, 4가 10%)과 판 크기 선택지(4·5·6)는 꿀도구 2048의 소스 코드에서 읽은 값입니다. 이론상 최대 타일은 "가장 큰 타일을 만들려면 그 아래 단계들이 판 위에 동시에 있어야 한다"는 조건에서 나온 상한으로, 칸 수 N에 대해 2의 (N+1)제곱입니다. 최소 점수는 2만 합쳐 올라갔을 때의 값이라, 실제로는 4가 섞여 나오므로 이보다 높게 나옵니다. 타일 1,024개와 931회 생성은 각각 2048을 2로만 채울 때의 개수와 새 타일 기댓값 2.2로 나눈 값이며, 실제 판에서는 무작위에 따라 달라집니다.